北京信息科技大学
2021 年硕士研究生入学考试初试自命题科目考试大纲
考试科目名称：高等代数（含解析几何）
考试科目代码：814
一、 考试基本要求及适用范围概述
要求考生比较系统地熟悉高等代数（含解析几何）的
基本概念、掌握基本理论和方法。要求考生具有抽象思维
能力、逻辑推理能力、有较强的运算能力和综合运用所学
的知识分析问题和解决问题的能力。
本考试大纲适用于数学一级学科硕士研究生招生入
学考试初试。
二、 题型结构
试卷满分为 150 分，题型包含选择题、填空题、计算
题和证明题，其中解析几何占 15 分左右。
三、 考试内容
1. 多项式：一元多项式运算法则；带余除法定理，最
大公因式概念及求法(辗转相除法)；不可约多项式概念和
因式分解唯一性定理；重因式、余数定理，零点(根)定理；
复/实系数多项式的因式分解定理；有理系数多项式、整系
1数多项式和本原多项式的概念、性质及相互关系，整系数
多项式的有理根的求法，Eisenstein 判别法。
2. 行列式：排列及对换的概念，排列奇偶性的概念及
判定；行列式的定义、性质及计算方法；行列式按一行（列）
展开，代数余子式，范德蒙德(Vandermonde)行列式；矩阵
的定义和初等行、列变换，矩阵与行列式的区别；克拉默
(Cramer)法则及应用。
3. 线性方程组：线性方程组的高斯(Gauss)消元法；
向量空间、线性相关、线性无关的概念与性质；矩阵的 k
级子式，矩阵秩的定义、性质及求法，向量组的极大线性
无关组的求法；线性方程组有解的判定、线性方程组解的
结构。
4. 矩阵：矩阵的基本运算，矩阵乘积的行列式与秩；
矩阵的逆的定义、性质及求法；矩阵分块的概念和分块矩
阵的运算，初等矩阵、初等变换与矩阵的秩，分块乘法的
初等变换及应用。
5. 二次型：二次型的矩阵表示，矩阵的合同关系，对
称矩阵的概念和性质；用非退化线性变换化二次型为标准
形，实、复二次型的规范型，惯性定理与惯性指数；正定、
半正定二次型的概念、性质及判别方法。
6. 线性空间：集合、映射的定义与运算性质；线性空
间的定义与简单性质；维数、基与坐标的概念和性质，基
变换与坐标变换；线性子空间的概念和性质，子空间的交
2与和的概念及性质，子空间的直和的定义及判别准则；线
性空间的同构，同构映射的概念和性质。
7. 线性变换：线性变换的定义、运算及其简单性质；
线性变换的矩阵及其性质；矩阵的相似关系的定义及其性
质；特征多项式、特征值与特征向量的定义、性质及计算；
线性变换在某一组基下的矩阵为对角矩阵的条件（即矩阵
相似于对角矩阵的条件）；线性变换的值域与核的概念及
性质；不变子空间的概念，不变子空间与线性变换矩阵化
简之间的关系；若当（Jordan）标准形的概念及应用；最
小多项式的概念和性质及求法。
8. λ-矩阵：λ-矩阵的定义及其秩、逆和初等变换；λ-
矩阵在初等变换下的标准形；行列式因子、不变因子和初
等因子的定义、性质及求法；矩阵相似的条件；复矩阵若
当（Jordan）标准形的计算。
9. 欧几里得空间：欧几里得空间（含内积）的定义与
基本性质；欧几里得空间中基的度量矩阵，正交向量组、
正交基、标准正交基的定义、基本性质及相互关系，施密
特正交化方法；欧几里得空间的同构；正交变换、正交矩
阵的定义和性质；子空间的正交关系；对称变换、实对称
矩阵的性质及其标准形的求法。
10. 解析几何： 向量的线性关系；向量的内积、外积
和混合积；二重外积的计算及相关理论；平面和直线的各
种方程的建立及其相互关系，以及度量关系；了解图形与
3方程，柱面、锥面、旋转面方程的建立；二次曲面的方程
及其图形。
四、 参考书目
1. 北京大学数学系前代数小组编，王萼芳，石生明修
订，高等代数(第五版)，高等教育出版社，2019 年 5 月。
2.谢冬秀，《解析几何》，科学出版社，2009。
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